viernes, 2 de marzo de 2018

giros


últimamente he estado viendo con mi alumna de 1º de bachillerato el movimiento circular en física. la aceleración centrípeta, que hace que la velocidad cambie de dirección en cada instante y el cuerpo siga girando alrededor del centro de la circunferencia, es igual al producto de la velocidad angular al cuadrado por el radio: ω2·R.

se trata de una de esas expresiones que no se pueden demostrar empleando conocimientos de bachillerato, por lo que los alumnos no tienen más remedio que creérselas. para deducir esa fórmula de la aceleración centrípeta hay que utilizar nada menos que las coordenadas polares, que yo las di en física de 1º de carrera.

dado un cuerpo que sigue una trayectoria curva, se define r como la distancia de dicho cuerpo a un origen de coordenadas en un instante dado, y φ como el ángulo que forma r con un eje que se toma como referencia, normalmente el horizontal. por otro lado, se definen dos vectores unitarios perpendiculares entre sí para cada punto de la trayectoria: ur en la dirección del radio r, y uφ según la variación del ángulo φ.



ur y uφ son dos vectores ‘dinámicos’, en el sentido de que van cambiando de posición en cada instante del movimiento. ur se desplazará en el sentido del ángulo φ -antihorario en la figura-, y uφ también seguirá al ángulo φ al ser ambos vectores solidarios entre sí, y se desplazará hacia el centro de giro, ‘hacia dentro’ de r como si dijéramos.

el vector de posición del movimiento es igual al radio r por el vector ur. para obtener la velocidad, derivaremos el vector de posición respecto al tiempo, teniendo en cuanta que hay que derivarlo como un producto (derivada del primer factor por el segundo sin derivar, más derivada del segundo por el primero sin derivar). a las derivadas de rφ las denotaremos como dichas letras con un punto encima.


el vector velocidad que hemos hallado tiene dos componentes, en ur y uφ. la primera representa la variación de la distancia r, y la segunda el ángulo girado. a continuación, vamos a derivar para obtener la aceleración, lo cual será más laborioso esta vez, pues tenemos que derivar dos productos, y uno de ellos con tres factores. denotaremos a las segundas derivadas de r y φ como sus correspondientes letras con dos puntos encima.


hemos obtenido una expresión de la aceleración que, de manera similar a la velocidad, tiene componentes en ur y uφ -radial y angular, respectivamente-. esta aceleración representa el caso más general posible, vale para cualquier combinación de movimiento rectilíneo y movimiento circular.

en el movimiento circular uniforme, el radio r será constante -lo llamaremos R mayúscula-, y por tanto sus derivadas serán nulas. por otro lado, el ángulo φ variará de manera uniforme, siendo su primera derivada igual a la velocidad angular ω, y su segunda derivada nula. esto simplifica mucho las cosas ya que, como se ve, muchos términos desaparecen, y la única componente que nos queda es la aceleración centrípeta: 2·R·ur. lleva la dirección del radio, y el signo negativo se debe a que se dirige hacia el centro de la circunferencia.


en la aventura ‘el cacao espacial’ de mortadelo y filemón, un instructor les prepara para el viaje en cohete que van a realizar. como se puede imaginar, le vuelven loco al hombre. al poner el sillón giratorio a la máxima velocidad, la aceleración centrípeta es en consecuencia muy elevada. la física sobre el papel es muy interesante, pero cuidado con los experimentos prácticos. :O

23 comentarios:

  1. Cuántas cosas aprendemos contigo, , así da gusto.
    Yo me apunto a ir un ratito a la disco con Mortadelo .
    Un saludo

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  2. Son casi las dos de la mañana, tendría que haber venido antes para estar mas despejada. Un abrazote

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  3. Hola Chema, estoy perdiendo facultades, aún ando con soñera. Los personajes marcaron una época en mi vida y son entrañables...

    Un abrazo.

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  4. Todo lo que gira demasiado me produce un poco de vértigo, y la física en papel casi que también.
    Fantástica entrada, Chema.
    Feliz fin de semana

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  5. maribel, resulta curioso lo de ir a la discoteca, porque mortadelo ya era un poco carroza para eso, jeje. yo también soy carroza, ahora que lo pienso. ^_^

    ester, yo anoche también trasnoché, estuve leyendo. viniste poco después de haberme acostado. esta entrada es un poco densa, sí. ;)

    mari carmen, soy muy fan de todos los comics de bruguera: mortadelo y filemón, zipi y zape, superlópez... releerlos me trae muchos recuerdos.

    maite, las aceleraciones no sólo suponen ir más deprisa o más despacio, sino cualquier cambio en la dirección y sentido de la velocidad. eso se manifiesta en los 'bamboleos' que sienten las personas que montan en el móvil en cuestión.

    besos!!

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    1. Yo también soy un poco carroza , pero sí me pones música vuelvo a tener 20 años . jijiji
      Un saludo

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  6. Es como esas atracciones de feria donde te metes en una sopera gigante que da vueltas. Física explicada "By Álter", jajajaja. Besotes!!!

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  7. Cuidado con los experimentos prácticos, sobre todo si andan Mortadelo y Filemón cerca, nunca acaban bien jajajajja

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  8. Jajajaja, solo de imaginarlo ya me mareo!!

    Y qué gustazo tener nuestro profesor particular. Entre tus maravillosas explicaciones, y esos cómics que nos muestras siempre, no sabes los viajes fantásticos en el tiempo que estoy haciendo, (pero a otra velocidad, eh¿? jajaja)
    Qué grande eres 😉

    Bsazos enormes, y muy feliz finde, mi querido Chema!

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  9. Me siento como el hombre que se sentó en ese sillón, que mala soy yo para la física... Una nulidad, eh?

    Muchos besos, Chema.

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  10. álter, pues es con ese tipo de cosas como mejor se aprende la física! ;) hace ya tiempo dediqué entradas al tiovivo y a la noria desde el punto de vista físico. ^_^

    geno, en ese capítulo, el hombre que dirige los ensayos para el cohete acaba con el pelo blanco y pidiendo el ingreso en un convento. :D

    ginebra, me alegra mucho que te guste!! :* hacía tiempo que me rondaba la cabeza de escribir sobre este tema de la velocidad y la aceleración en polares. no sabía cómo hacerlo ameno, pero en un momento dado se me encendió la bombilla. ^_^

    carmen, a mí me gustaba la física de cou, con sus planos inclinados, sus poleas y sus tiros parabólicos. al ver la física de 1º de carrera flipé, pero me acabé acostumbrando. ^_^

    besos!!

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  11. Mira que eres grande como profe, ya me gustaría que me hubieras dado clases en aquellos tiempos.

    Me encantan las viñetas de Mortadelo y Filemón, son únicos ¿a qué sí?

    Besos.

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  12. I wouldn't want to sit in that chair! ;-) The theoretic part looks much safer! Mortadelo y Filemon I know as "Paling en Ko". I loved reading these comics, they were so funny! Unfortunately through the years my comics disappeared, I don't know what happened to them.

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  13. Chema, amigo mío... tú manejas estos términos a la perfección. Estoy segura que tu alumna ha cogido toda la explicación... yo he terminado como el del comic :)

    Mil besitos para tu día.

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  14. maría, ahora tengo cinco alumnos, he vuelto a alcanzar mi máximo. ^_^ mortadelo y filemón y todos los comics de ibáñez tienen un tipo de humor único e inimitable.

    millicent, spinning makes everyone dizzy, so i certainly wouldn't sit on there, either! mortadelo y filemón were very successful in germany, where they were called 'clever & smart'.

    amapola, efectivamente eso es lo que ocurre si estás montado en algo que gira y en un momento dado te sueltas. poco aconsejable, sin duda!

    auroratris, no pasa nada, ahora descansas un poco. :D jo, ayer di tres horas seguidas con ella, tenía que preparar un examen. esperemos que lo haga bien.

    besos!!

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  15. Ay me encanta, de hecho deberías recopilar todas estas explicaciones en un libro, te lo digo en serio.
    Besos y feliz lunes.

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  16. Yo creo que hay muchas cosas que en bachiller o antes no se pueden demostrar y es mejor creerlas y punto. Y también dudo que quieran esas explicaciones jajja Yo en la carrera, lo poco que fui, entendí varias cosas y dije 'acabáramos, ahora lo entiendo'.
    Besos

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  17. Vale, me has convencido, lo que tú digas..... ;P (porque no he entendido ni papa).
    Este Mortadelo no hacía una al derechas, pobre del que se ponía en su camino!!!
    Besitos, Chema!

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  18. He leído tu relato, el que propuso Ginebra y me ha encantado, combinas perfectamente todos los elementos sin forzar. Es muy bonito y diferente.

    Muchos besos.

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  19. gemma, un día podría escribir un libro de mates divertidas, pero tendría que buscarme a un buen ilustrador/a, porque si pusiera viñetas de comics como en el blog, me crujirían a derechos de autor. :D

    pirulí, el otro día mi alumna me contó algunas reglas para límites que les habían explicado en el colegio, y que si no has estudiado desarrollos en serie -una cosa que se da en primero de carrera- es totalmente imposible entenderlas. aluciné.

    rosana, es de estas ideas que se me ocurren para el blog pero que descarto por ser demasiado abstractas, hasta que un día se me ocurre cómo adornarlas un poco. ^_^ ibáñez, el dibujante de mortadelo y filemón, no sé cómo tenía capacidad para inventar tantas gamberradas. :D

    sakkarah, me alegra mucho que te haya gustado! primero me hice un plan mental de cómo iba a enlazar las palabras, y luego ya me puse a escribir. ;)

    besos!!

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  20. Me has matao! En esta ocasión te he leído dos veces y no me he enterado, pero tranquilo, como dirían las parejas cuando rompen, no eres tú, soy yo jejeje. Soy muyyyy torpe para estas cosas. Y eso que tú te explicas muy bien, pero es que yo necesito más horas, soy como Canarias, voy con una hora menos.
    Eso sí, la viñeta final me ha enamorado porque Mortadelo y Filemón eran mis favoritos de siempre. Tengo aún todos los cómics que me regalaban de ellos y aún de vez en cuando los releo.
    Un abrazo gigante profe

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  21. anacris, ya será menos, seguro que conmigo serías buena alumna. voluntad y buena actitud seguro que pondrías, y con eso la mitad está hecho. ;) con mortadelo y filemón te partes de risa, y con todos los comics de ibáñez. tenía un humor aparentemente simple pero muy difícil de imitar. :)
    besos!!

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