domingo, 8 de febrero de 2015

problema abierto

algunas ecuaciones polinómicas de grado 3 o mayor no se pueden resolver de manera exacta. la verdad es que nunca me he molestado en investigar para encontrar una manera de hacerlo. porque lo que se me pueda ocurrir a mí ya se les habrá ocurrido a los matemáticos más prestigiosos.

es un razonamiento similar al que le hace el capitán haddock a tintín, cuando se empeña en acudir al rescate de un amigo suyo que viajaba en un avión estrellado en el tíbet.


a una alumna de 1º de eso le dije un día:
–las ecuaciones de primer grado ya las sabes hacer muy bien. y las de segundo grado ya verás que no son difíciles, se hacen aplicando una fórmula.
–y las de tercer grado? –me preguntó.
–huy, una ecuación de tercer grado, o encuentras una solución por tanteo y la reduces a una de segundo grado, o no hay manera de resolverla.

y así sucede. en un polinomio de tercer grado puedes ver a ojo un valor de x que lo haga cero, lo que se llama una raíz del polinomio. en el que veis en el escaneado, x=1 es una raíz.


el siguiente paso a dar es dividir el polinomio original entre x–raíz. como en el ejemplo la raíz es 1, dividimos entre x–1.


de ese modo obtenemos una ecuación de segundo grado, cuyas dos soluciones hallamos mediante la conocida fórmula. –1 y 2, junto con 1 (que era la que habíamos identificado a simple vista), serán las tres soluciones de nuestra ecuación de tercer grado.


pero hay polinomios en los que, por más que probemos, no encontramos ninguna raíz por tanteo. tendremos que calcular algunos de los puntos más significativos del polinomio y representarlo gráficamente para tener una idea de por dónde pasa, y así poder obtener sus raíces de manera aproximada.


lo primero que calcularemos serán sus máximos y mínimos. para ello hallamos la derivada del polinomio y la igualamos a cero.


comprobamos que, de los dos puntos en que se anula la derivada, el primero es un máximo y el segundo un mínimo.


calculamos el valor del polinomio original en las abscisas donde se alcanzan el máximo y el mínimo. para tener una representación más precisa de la gráfica, podemos calcular algunos puntos más, por ejemplo la ordenada en el origen...


en la gráfica se observa que este polinomio tiene tres raíces: una próxima a 0, otra entre 2 y 3 (más cerca de 2), y otra entre 3 y 4. se calcularían por acotación, probando con valores de x que estén en esos intervalos y afinando hasta que al sustituir por ellos el valor del polinomio sea todo lo próximo que queramos a cero.


cuanto mayor sea el grado de la ecuación, más improbable será que se pueda resolver de manera exacta. en una ecuación de tercer grado, si ves al vuelo una solución puedes pasar a una de segunda grado. pero en una de cuarta grado, necesitas conocer a priori dos soluciones, en una de quinto grado necesitas tres soluciones, y así sucesivamente.

esto de las ecuaciones de grado ≥3 es un misterio. si sus coeficientes son enteros, digo yo que sus soluciones, aunque sean irracionales, al menos se podrán expresar como combinaciones de raíces de números enteros. pero tampoco eso está muy claro...

14 comentarios:

  1. Hola. cuando estudié las ecuaciones ya me parecieron difíciles pero ahora recordándolas aún me pregunto cómo puede aprobarlas y con nota... qué difícil me parecen... hay millones de años que no las hago... muy bueno el razonamiento del capitán Haddock a Tintín pero siempre pensamos que nosotros seremos capaces de hacer algo más. Seguimos en contacto

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  2. Pues a ver si hay suerte esta vez y se publica el comentario que es la tercera vez que lo intento.
    Te decía Chema que a mi siempre me han gustado las matemáticas, me gustaban las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones, los problemas me costaban un poco más pero siempre he sido perseverante y los sacaba,también dependía del profesor que tuviésemos, el profe es superimportante tu ya lo sabes.Mi técnica era hacer montones de ejercicios, yo no tenía internet pero iba a la biblioteca y nos juntábamos a estudiar un grupito de amigos.Ahora tengo que refrescar mi memoria por que tengo que ayudar a mis niños que están n el instituto.Bss

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  3. Me encantaba resolver ecuaciones, eran muy entretenido.. Mi hijo pronto va a empezar con ellas, así que volveré a disfrutarlas... Esto de que nos gusten las mates,, ....!es una gozada!
    Feliz semana

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  4. Hola. efectivamente,algunas ecuaciones polinómicas de grado 3 o mayor no tienen una solución exacta. Al igual que tu tampoco me molesté en buscarle una explicación.

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  5. marta, en concreto con lo de las ecuaciones, pienso: "pero no se podrían transformar en una expresión tipo de binomio de newton en un lado de la ecuación, y lo que haga falta para cuadrarla en el otro?" y descarto este pensamiento diciéndome "bah, si fuera tan sencillo ya lo habría hecho alguien".

    añoranza, bienvenida al blog!! por facebook ya hemos hablado otras veces. :) ahora que mencionas los sistemas de ecuaciones, tengo que explicarlos esta tarde a una niña de 2º de eso que ha empezado a darlos y lo malo es que se perdió las primeras clases de ese tema porque estuvo mala. yo también he sido siempre de hacer cuantos más ejercicios mejor, para que en el examen no me pillara nada de sorpresa, que aún así a veces te pillaba...

    lucía, las ecuaciones nunca dejan de aparecer cuando estudias una carrera de ciencias, e incluso en las carreras de la rama financiera abundan. por eso no se olvidan nunca. son muy importantes, no se olvidan y además nos gustan, por eso resulta motivador explicarlas.

    marta máster, soluciones exactas sí tienen, la cuestión es que hasta el día de hoy no se ha encontrado la manera de calcularlas. es algo que existe pero no se puede conocer, quizá como los 'noúmenos' de kant... te puedes volver loco si piensas mucho en ello.

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  6. A mí las ecuaciones me divertían mucho. Las di en 8º y fue a lo máximo a lo que llegué en mates jajaja

    Besos

    39+2

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  7. Pues igual que Opiniones incorrectas, jajajaja...Es lo único que me divirtió de las matemáticas, me entretenia hacerlas. Claro que ya me parece que las tengo demasiado olvidadas. Menos mal que soy de letras y no he tenido que preocuparme más de las matemáticas, aunque confieso que es una asignatura que tengo pendiente todavía. Cualquier día me pongo a ellas, igual que me he puesto con cosas que siempre me parecieron muy dificiles. Besos, guapo.

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  8. eva, las ecuaciones es que son una cosa muy lógica, como un puzzle, y se puede comprobar si se han hecho bien. hoy he tenido clase con una niña de 1º de eso, y en su cuaderno había ecuaciones hechas por su profesor que ella había copiado de la pizarra, y estaban mal. alucinante. yo también me equivoco a veces, pero para eso está la comprobación, para darte cuenta de que hay algún fallo y rectificar, y no dar a tus alumnos ejercicios mal hechos.

    merchi, a los alumn@s que he tenido, las ecuaciones se les han dado bien en general. y es algo útil en la vida real, a diferencia de ejercicios farragosos tipo castillos de fracciones, que a mí no me gustan. en mi colegio, en 3º de bup pocos se iban a letras mixtas, y no digamos a letras puras. en cou ya la cosa quedaba empatada entre ciencias y letras, pero en 3º sólo cogían letras los que lo tenían clarísimo. había gente muy especial y carismática en ese grupo...

    besos a las dos!

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  9. Todavia me acuerdo de las ecuaciones cuando las miro si seria capaz de hacerlas es que hay cosas de matematicas que se olvidan pero no las ecuaciones, por cierto, le tendre que decir a mi hija venga a tu blog le vendria muy bien tus clases de matematicas .

    Un beso.

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  10. Bueno, el hecho de que los matemáticos más prestigiosos no hayan dado con ello, no quiere decir que uno menos experimentado no lo consiga. De hecho ellos de alguna manera se tuvieron que ganar el prestigio, seguro que estudiando algo que los anteriores no habían conseguido desentrañar :-D

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  11. maría, pues que se pase, será muy bienvenida!! esta entrada quizá es de las más áridas, otras veces encuentro la manera de relacionar el tema que explico con algo divertido. pero aun así, con los colorines y tratando de usar un lenguaje sencillo, se hace más asequible, eso intento. :)

    geno, tienes toda la razón en lo que dices! si todo el mundo dice "este problema no lo ha resuelto nadie, menos lo voy a resolver yo" se quedará así para siempre, jeje. einstein era un funcionario de patentes que escribió unos artículos sobre relatividad, los mandó a una revista, y la cosa prosperó...

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  12. Joooooo yo era malisima con las ecuaciones! Ni siquiera las recuerdo madre mia!eran algo super dificil para mi y ahora que las hace mi hijo....tendre que decirle que lo explique! Besotes Chema!

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  13. Chema, tú ve pensando, porque esos matemáticos tan prestigiosos están sobrevalorados e igual los eclipsas.

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  14. imanara, las ecuaciones es que son una cosa muy nueva cuando se da por primera vez, a mí también me costaron. empiezan a hablarte de incógnitas, de despejar, de los miembros de la ecuación... y también hay profesores con los que todo es más difícil.

    ses, los descubrimientos matemáticos recientes me da a mí que son más bien cosas relacionadas con la programación. igual me pongo a estudiar yo los polinomios y otros problemas de las matemáticas tradicionales, ahora que nadie se está ocupando de ellos, jejeje.

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