domingo, 5 de enero de 2014

pitágoras


he mencionado en muchas ocasiones el teorema de pitágoras, pero nunca había escrito una entrada sobre su formulación y demostración. el famoso teorema dice así: en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

un triángulo rectángulo es aquél en el cual uno de los ángulos es recto. los catetos son los lados que forman entre sí ese ángulo recto. la hipotenusa es el lado restante, y será siempre el más largo de los tres.

en cualquier triángulo, los tres ángulos suman siempre 180º. dado que en un triángulo rectángulo uno de los ángulos es de 90º, los otros dos ángulos deberán sumar entre sí 90º, es decir, serán complementarios. llamaremos α y β a los ángulos que forman, respectivamente, el cateto menor y el cateto mayor con la hipotenusa.


se denomina altura de un triángulo a la línea trazada desde un vértice que corta perpendicularmente al lado opuesto. para demostrar el teorema de pitágoras, trazaremos una altura desde el vértice donde se forma el ángulo recto, la cual cortará perpendicularmente a la hipotenusa.

de esa manera, hemos dividido nuestro triángulo original -de color verde- en dos triángulos yuxtapuestos -de colores rosa y azul-. estos dos triángulos tienen la particularidad de ser semejantes entre sí, y ser a su vez semejantes al triángulo original.


qué quiere decir que dos triángulos sean semejantes entre sí? quiere decir que sus lados guardan la misma proporción, como si fueran dos copias a diferente escala del mismo triángulo. eso implica que sus ángulos deberán ser iguales; pensadlo...

al trazar esa altura sobre el triángulo del que partíamos, hemos obtenido dos triángulos rectángulos. en el rosa, el ángulo α nos es conocido y no ha sido modificado al realizar la división. y como se trata de un triángulo rectángulo, el otro ángulo no-recto ha de ser β, complementario de α. análogamente, en el triángulo azul conocemos a priori el ángulo β, y como también es un triángulo rectángulo, el ángulo que nos falta por conocer debe ser su complementario, α.

ahora ya tenemos claro que los tres triángulos, el pequeño, el grande y la unión de ambos, son semejantes. por tanto, sus lados seguirán las mismas proporciones y podremos establecer una serie de reglas de tres con ellos.

primero, igualaremos la proporción entre el cateto menor y la hipotenusa para los triángulos rosa y azul con esa misma proporción para el triángulo verde. de esa manera podremos expresar las distancias que hemos llamado h y x en función de los lados a, b y c de nuestro triángulo original.


a continuación, igualaremos la proporción entre el cateto mayor y la hipotenusa para los triángulos rosa y azul. sustituiremos h y x por las expresiones que hemos obtenido en el paso anterior.


ya tenemos una igualdad en función de a, b y c, y tan sólo nos queda hacer unas sencillas operaciones y despejar. hemos llegado a donde queríamos: la suma de los cuadrados de los catetos (a2+b2) es igual al cuadrado de la hipotenusa (c2).


se ha descubierto que el teorema de pitágoras ya había sido formulado con anterioridad en la antigua india, por un matemático de nombre baudhayana que vivió alrededor del año 800 a.C. esto sirve como ejemplo de que las más antiguas manifestaciones científicas y culturales no provienen solamente de los pueblos de alrededor del mediterráneo.

siendo así, el teorema de pitágoras debería llamarse teorema de baudhayana. aunque creo que nos costaría acostumbrarnos... en cualquier caso, esto lo leí en un libro de historia de las matemáticas que me trajeron los reyes el año pasado. veremos qué tal se portan este año.

feliz noche de reyes para tod@s!!

12 comentarios:

  1. Es de esos teoremas que se quedó en mi mente cuando estudiaba, y mira que nunca me han gustado las formulitas, aunque extrañamente, se me daba bien.

    ResponderEliminar
  2. Interesante razonamiento. Los triángulos son mis figuras favoritas. Tendré que releerte en el futuro cuando Silvia entre en esos cursos donde explican esto y yo ya esté obsoleta!!
    Ahora mismo nos bajamos a ver la cabalgata de sus majestades. Yo debo de ser muy buena porque siempre me traen cosas preciosas!!!!
    Te deseo un montón de cosas guays!!
    Besos y no te pongas muy nervioso (en nuestra casa estamos fatal de los nervios ahora mismo!!)

    ResponderEliminar
  3. ses, el teorema de pitágoras es fundamental, tiene todo tipo de aplicaciones en la vida real. es fácil de recordar porque resulta lógico. a un lado de la fórmula la hipotenusa, que es el lado más grande, y a otro lado los catetos, que son los más pequeños.

    rosana, tu pequeña silvia es lista y aplicada, y seguro que no tendrá problemas. no obstante, para cuando empiece a dar cosas complicadas, yo por aquí he hablado de casi todas ellas, tratando de hacerlas simples! ;) yo también te deseo que los reyes te traigan un montón de cosas. seguro que sí, porque has sido muy buena. hoy llevo todo el día como tenso, raro, no sé, y me han dicho que es por los reyes. :D

    besos!!

    ResponderEliminar
  4. Chemaa!!! Feliz año nuevo!!!!! Te deseo lo mejor niño. Estaba deseando volver a los blog, y como no ver el tuyo. Este post es súper interesante, contigo recuerdas muchas cosas. Un besi muy fuerte y espero que te hallan puesto muchas cósicas los Reyes

    ResponderEliminar
  5. Ooooh este Pitagoras "copiando" teoremas... pillín A mi me pasa como a Ses, es de las pocas formulas que se me quedaron grabadas en la mente jajajajja

    ResponderEliminar
  6. karmen, me alegra leerte de nuevo!! allá por 8º de egb nos empezaban a hablar del teorema de pitágoras. a ti seguro que también te han traído muchas cosas los reyes, pareces una buena niña! ;)

    geno, es un plagiador!! :D en el libro de matemáticas de la niña de 1º de eso a la que di clase salía un retrato de pitágoras, y ella decía que era muy feo. qué ocurrencias tenía, lo que me reía con ella!

    besos!!

    ResponderEliminar
  7. Es uno de los teoremas que nunca se olvidan, supongo que porque se aplican mucho. !Aupa las mate! Espero que los reyes hayan sido generosos.

    ResponderEliminar
  8. lucía, así es, se utiliza constantemente en física, porque la física son todo vectores, y calcular las componentes o el módulo de un vector en el fondo es aplicar el teorema de pitágoras. y en electrotecnica, porque las impedencias son números complejos, y por tanto son una especie de vectores.

    ResponderEliminar
  9. Pues creo que nos dieron la lata bastante con este teorema si todos nos acordamos, jejejeje... Muy interesante recordarlo. Me ha venido a la mente Pitagorin, jajajaja... Besitos, Chema, y feliz año ;)

    ResponderEliminar
  10. merchi, el teorema de pitágoras está en todas partes, recuerdo que hasta sale en alguna historieta de zipi y zape. ;) y hablando de tebeos, pitagorín, cómo no, era un niño rubito y con gafas que solucionaba todos los problemas a los adultos, jeje. besos y espero que hayas tenido buen comienzo de año y buenos reyes!

    ResponderEliminar
  11. Hoy has hecho que recuerde a mi abuelo...Era profesor de Matemáticas , siempre me iba con él para hacer la tarea y muchas tardes las pasamos resolviendo problemas con el teorema de Pitágoras
    Gracias por enviarme tu calor
    Un Abrazo

    ResponderEliminar
  12. princesa nadie, qué bonita escena. seguro que eras una niña buena y guapa, y tu abuelo te explicaba las matemáticas con la experiencia de un veterano profesor. del teorema de pitágoras se pueden plantear infinidad de problemas muy diferentes entre sí, da mucho juego.
    abrazos

    ResponderEliminar