martes, 24 de enero de 2017

insomnio otra vez


en cierta ocasión, una noche de insomnio me inspiró una entrada. la diferencia es que aquella vez me levanté y la escribí en el momento, mientras que esta vez he esperado a que salga el sol...

estoy dando el tema de logaritmos con una alumna de 4º de eso. el otro día le mandaron como ejercicio una ecuación que tenía dos soluciones, una de las cuales no era válida, ya que al sustituir en la ecuación inicial daba un logaritmo de un número negativo.

al igual que no existe la raíz de índice par de un número negativo, tampoco existe el logaritmo de un número negativo. pero ojo, al decir que ‘no existe’, nos estamos refiriendo a una solución real. sí existirán soluciones complejas.

los números complejos son aquellos que contienen una parte imaginaria.
toman la forma a + b·i.
a y b son números reales, mientras que i es la unidad imaginaria, definida como la raíz cuadrada de -1. es decir, i = √-1.

el logaritmo de un número negativo se puede desglosar de la siguiente manera, aplicando las propiedades de los logaritmos:
ln(-N) = ln(-1·N) = ln(-1) + ln(N)
por ahora estamos usando logaritmos neperianos -en base e-, pero después veremos que para los logaritmos decimales sólo hay que hacer un pequeño cambio.

y cuánto vale el logaritmo de -1? recordemos la famosa fórmula:
ei·x = cos(x) + i·sen(x)
para x = π, sustituyendo, eπ·i = cos (π) + i·sen (π) = -1 + i·0 = -1
como se ve, π·i es el número al que hay que elevar e para que nos dé -1. y eso es, por definición, el logaritmo neperiano de -1.

por tanto, ln(-N) = ln(N) + ln(-1) = ln(N) + π·i.
es decir, un número complejo con parte real ln(N) y parte imaginaria π.

y para el logaritmo decimal? análogamente, como las propiedades de los logaritmos no dependen de la base:
log(-N) = log(-1·N) = log(N) + log (-1)

vamos a buscar otra ‘fórmula mágica’ que relacione exponenciales con senoidales, pero con base 10:
10i·x = (eln10)i·x = ei·(ln10·x) = cos(ln10·x) + i·sen(ln10·x)

a cuánto hay que elevar 10 para que nos dé -1?
habrá que imponer que:  cos(ln10·x) = -1  –>  ln10·x = π  –>  x = π/ln10

así pues, log(-1) = (π/ln10)·i
y por tanto, log(-N) = log(N) + (π/ln10)·i


decididamente, prefiero acostarme tarde cuando ya estoy que me caigo de sueño y dormir de un tirón, que acostarme pronto y luego estar dando vueltas en la cama y despertándome cada dos por tres.

por otro lado, hay tres cosas que tengo asociadas en mi mente, como si estuvieran hechas de un mismo material: los números complejos, los sueños y las grabaciones al revés.

habéis probado a escuchar stairway to heaven de led zeppelin al revés, a ver si es verdad que contiene mensajes subliminales?? :O

martes, 17 de enero de 2017

ducha


en economía, un bien de demanda inelástica es aquél que se adquiere independientemente de las variaciones en su precio y de la renta del consumidor. así como puedes prescindir de un bien de lujo, hay en cambio bienes de primera necesidad sin los cuales no puedes pasar, por muy difícil que sea la situación.

la ducha es claramente un bien de demanda inelástica. no sólo en términos económicos, por ser una necesidad básica, sino también en cuanto al perfil del consumidor. hay personas ‘desaliñadas’ por decirlo de alguna manera, con un vestuario poco variado, que pasan de presumir y de arreglarse, y que sin embargo son muy limpias. es mi caso, por cierto. :P una cosa no quita la otra. se puede ser más o menos cuidadoso con la imagen externa, pero la ducha siempre es algo común que prevalece.

en ese sentido hemos mejorado mucho desde tiempos pasados. tengo entendido que la gente de la edad media no destacaba por su higiene personal...


dicen que los ingleses no se duchan. y sin embargo, por ejemplo, en las historias de esther -cuyo guionista era inglés y se desarrollaban en una pequeña ciudad de inglaterra-, las chicas siempre estaban bañándose o duchándose, sobre todo rita.

no sé hasta qué punto son creíbles esos mitos. lo he oído también de los franceses, entre otros. creo que la acusación de no ducharse no se debe usar como arma arrojadiza contra cualquier país que a uno pueda caerle mal. porque al final va a resultar que entre unos y otros, medio mundo no se lava, y tampoco es eso...


algunos niños, especialmente los niños varones, tienen cierta fobia al agua y hay que obligarles a que se laven. eso les pasaba a zipi y zape, siendo un argumento recurrente en muchas de sus historietas. y, por ejemplo, el hermano pequeño de una alumna que tuve, cuando su madre le hacía ducharse pegaba unos gritos que debían de oírse en todo el edificio.


las niñas, en general, son más limpias y ya se lavan ellas solas sin que haya que perseguirlas. aunque siempre puede haber alguna excepción... :O


espero que os hayáis divertido leyendo esta entrada, ya que ésa era la idea. :) sois más de baño o de ducha? por la mañana o por la noche? os tomáis mucho tiempo? yo sí, porque además me lavo el pelo.

miércoles, 11 de enero de 2017

cruce de caminos


cuando veo los pasamanos de las escaleras mecánicas de un gran almacén, siempre pienso en el problema de dos rectas cruzándose en el espacio.

dos rectas, cuando están en un mismo plano, pueden o bien cortarse o bien ser paralelas. pero si trazamos dos rectas al azar en el espacio, lo más probable es que no pertenezcan a un mismo plano, y que por tanto se crucen. es decir, que ni sean paralelas ni se corten.

recuerdo que el problema más complicado que te podían poner en el tema de geometría del espacio de cou, era el de calcular la distancia mínima entre dos rectas que se cruzan. no recuerdo exactamente cómo lo hacíamos, pero se me ocurre un posible método: calcular la dirección que debe seguir una recta que sea perpendicular a las dos rectas dadas, imponer la condición de que corte a ambas y calcular la distancia entre los puntos de corte.

voy a inventarme dos rectas sobre la marcha, eso sí, con coeficientes sencillos para que luego no salgan cálculos muy farragosos.


a continuación, vamos a expresar para ambas rectas las coordenadas y, z en función de x. nos vendrá bien después.


ahora calcularemos la dirección que debe seguir una recta que sea perpendicular a las dos dadas. en la ecuación de una recta -como las que aparecen en el primer escaneado-, los denominadores coinciden con las componentes del vector que indica su dirección. tendremos que calcular el producto vectorial de los vectores directores de las rectas. si las tres componentes tienen algún divisor común, se pueden ‘simplificar’.


llegamos a la parte más delicada de nuestro razonamiento: tomamos dos puntos genéricos, pertenecientes a cada una de nuestras rectas iniciales. obligamos a que ambos pertenezcan a la tercera recta, y que por tanto cumplan su ecuación.


sustituimos las coordenadas y, z de ambas rectas por las expresiones en función de x que hemos calculado antes.


de esa manera, la ecuación de la tercera recta la hemos expresado en función de las coordenadas x de las dos rectas dadas.


como la ecuación de una recta en el espacio consiste en tres cosas que se igualan dos a dos, en el fondo lo que hemos obtenido es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: x1, x2.


resolvemos el sistema y calculamos x1, x2. y a continuación sustituimos para hallar y1, y2, z1, z2. ya tenemos las coordenadas de los puntos de corte de nuestras dos rectas con la tercera perpendicular a ambas.


lo más difícil ya lo hemos hecho. ahora sólo queda hallar el vector que une ambos puntos. su módulo o longitud se calcula mediante el teorema de pitágoras. esa longitud será la distancia mínima entre las dos rectas.


en las escaleras mecánicas de los grandes almacenes no suelo avanzar en el sentido de la marcha. no se ahorra mucho tiempo con ello. sí lo hago en cambio en las escaleras del metro, ya que a veces son interminables, y por unos segundos puedes perder un tren y tener que esperar cinco minutos hasta el siguiente.

martes, 3 de enero de 2017

miedos

en mi colegio, cada alumno tenía asignado lo que se llamaba un ‘preceptor’: un profesor que te hacía un seguimiento personalizado y al que le contabas los problemas que pudieras tener. cada cierto tiempo te llamaba y tenías una charla privada con él.

tengo el sueño recurrente de que estoy sacando peores notas de las esperadas, y en un momento dado me doy cuenta de que llevo todo el curso sin preceptor. en el sueño, don gregorio -que es así como se llamaba el preceptor que tuve siempre en mi colegio- está desaparecido, no le he visto en lo que llevamos de curso. no sé si está enfermo o qué le ha pasado, pero yo sin preceptor no puedo estar, me siento perdido. y así lo demuestra el bajón en mi rendimiento. así que tengo que ir a ver al jefe de estudios para que me asignen a alguien que sustituya a don gregorio.

ese sueño lo volví a tener anoche. supongo que denota, entre otras cosas, el miedo al suspenso. en el colegio sacaba buenas notas, pero en la carrera... era otra historia. y sobre este asunto del temor a suspender ya tenía en mente escribir algo. así que vamos a ello. :)


el primer examen que hice en la carrera fue en febrero de 1996, el primer parcial de la asignatura de ‘cálculo infinitesimal’. lo hice lo mejor que pude pero no salí contento. encima miré las soluciones del examen, que las habían puesto en un tablón, y no parecían coincidir con las mías. “he suspendido”, sentencié.

la profesora les dijo a los de mi grupito: “he visto un poco triste a vuestro amigo”. me conocía, algo poco habitual en una universidad pública y especialmente en el primer ciclo, cuando las clases son tan masificadas. pero como me sentaba en la primera fila y siempre llevaba los ejercicios hechos...

después de tanto lloro, aprobé y además con un 7. a día de hoy todavía estoy alucinando. durante toda la tarde de ese examen, quizá debido a los nervios, tenía metida en mi cabeza una canción de roxette, del recopilatorio que me habían traído los reyes un mes antes. y dado que el final fue feliz, esa canción ahora me trae buenos recuerdos.

pero hay que tener cuidado, porque el miedo excesivo al suspenso puede ser mal consejero. si después de un examen lloriqueas porque crees que te ha salido mal y luego apruebas, pues te llevas un disgusto que te podías haber ahorrado, pero bien está lo que bien acaba. el problema es cuando el miedo te lleva a hacer mal algo que podías haber hecho bien si hubieras estado más tranquilo.


años más tarde, hice el examen práctico de conducir. no era la primera vez, y temía suspender de nuevo. en un momento dado, se paró en medio de la calle un camión o no sé muy bien qué era. di un poco de marcha atrás y lo sorteé. esa pequeña incidencia ya me puso nervioso, y dudé de si había hecho lo correcto.

pero lo peor fue que cuando estaba pasando por un paso de cebra sin semáforo, vi a un peatón en la acera, ya demasiado tarde para frenar. supuestamente le tenía que haber cedido el paso para que cruzara, y con ese tema eran muy estrictos. entonces pensé “ya me he cargado el examen”. dimos algunas vueltas más, hasta que la examinadora me mandó aparcar en un hueco.

como estaba muy alterado pensando que ya había suspendido, pues el aparcamiento me salió un churro -aparte de que se me daba mal de por sí-, pisé el bordillo y todo. y sí, al final suspendí, pero fue sólo por la última prueba, la de aparcar. el profesor de la autoescuela me dijo que hasta ese momento lo había hecho todo bien y que había sido una pena.

y lo del peatón en el paso de cebra, realmente no había hecho ademán de cruzar, lo mismo estaba esperando a alguien. pero como nos decían que siempre parásemos para ceder el paso... de todos modos, si hubiera sido una falta eliminatoria, la mujer que me examinaba habría dado por concluido el examen de inmediato, y no fue así. pero claro, con los nervios no vemos las cosas claras.


esther, en su primera experiencia importante como enfermera, asiste a la operación de philip douglas -el guionista de las aventuras de esther, que en ese capítulo hace un cameo-. nuestra amiga se desmaya en el quirófano, lo cual le plantea dudas sobre su capacidad para la profesión de enfermera. pero luego le hacen ver que eso les ha pasado antes a muchas. y además el paciente queda muy satisfecho del trato que le ha dado esther.

por eso no debemos suspendernos a nosotros mismos. eso puede resultar una profecía autocumplida. en cualquier situación, desde un examen hasta una cita romántica, a veces creemos que lo estamos haciendo mal, y en realidad lo estamos haciendo bien.

martes, 27 de diciembre de 2016

contrastes

el paseo de la castellana divide madrid, de manera similar a la m-30. al cruzar de un lado a otro se cambia de distrito municipal. la acera de los impares -a la izquierda según se sube- siempre pertenecerá a un distrito, y la acera de los pares -a la derecha- pertenecerá a otro.
  • desde colón hasta doctor marañón, a la izquierda es chamberí y a la derecha es salamanca.
  • desde doctor marañón hasta nuevos ministerios, a la izquierda sigue siendo chamberí y a la derecha pasa a ser chamartín.
  • desde nuevos ministerios hasta la estación de chamartín -casi al final-, a la izquierda es tetuán y a la derecha sigue siendo chamartín.
  • y desde la estación hasta el final de la castellana, en un breve tramo la acera de la izquierda es fuencarral, y a la derecha es lo poco que queda de chamartín.


estos días tenía la idea de hacer un recorrido por tetuán, que destaca por sus contrastes. se pueden encontrar altos y modernos edificios, así como zonas de calles irregulares y estrechas con casas antiguas.


en esta foto se pueden ver algunos edificios del moderno complejo ‘azca’ a la izquierda, y el palacio de congresos a la derecha. a mi espalda queda el estadio santiago bernabéu. a continuación os muestro unas fotos más detalladas de ambos lados.



continuamos caminando por la avenida del general perón. llegamos a la esquina con la calle orense, donde hay unos soportales llenos de tiendas.


en gran parte de la acera norte de general perón hay un parque. por cierto, tengo alumn@s que viven muy cerca de aquí.


llegamos hasta el final de esta calle, que en realidad es el principio. la numeración empieza aquí y acaba al llegar a la castellana.


ahora seguimos por la calle de ávila, que es como la prolongación de general perón pero más estrecha.


nos estamos acercando a bravo murillo, el eje divisorio del distrito tetuán y una de las calles más largas de madrid.


ya estamos en bravo murillo. se supone que esta calle separa la zona antigua y la zona moderna de tetuán, quedando en el lado izquierdo la primera y en el lado derecho la segunda.


cruzamos al otro lado y nos metemos por la calle de castilla -nada que ver con la plaza de castilla-, que es prolongación de las anteriores por las que hemos pasado. hasta ahora hemos avanzado en línea recta todo el tiempo.



observamos que, efectivamente, las casas son más bajas y antiguas. y las calles empiezan a ser un laberinto, lo cual puede ser una pesadilla para alguien con poco sentido de la orientación como yo. y he tenido ocasión de comprobarlo...




al llegar aquí, ya no sabía por dónde seguir. pero suponía que avanzando de frente -o lo más parecido a ir de frente que permitieran estas tortuosas calles-, acabaría llegando a la avenida de pablo iglesias, donde acaba el distrito tetuán y empieza el distrito moncloa.




y este cartel señalizando la ciudad universitaria, me confirmaba que había seguido el camino correcto.


ésta es la avenida de pablo iglesias. como decía, a la derecha es tetuán y a la izquierda ya es moncloa. fin del trayecto.


pero no fin de mis problemas. :D y es que al dar la vuelta para volver por donde he venido, no sé qué puñetas he hecho que he vuelto a salir a avda. pablo iglesias. yo quería salir a bravo murillo y coger allí algún metro o autobús.

he encontrado una parada del autobús 45, que me acercaba a mi zona. pero cuando empiezo a desorientarme, suelo entrar en una espiral de despropósitos sin fin. adivináis lo que ha pasado? exacto, lo he cogido en sentido contrario. :P menos mal que me he dado cuenta a la primera parada.

y he tenido la suerte de que, justo donde me he bajado para enmendar mi error y no irme hasta aravaca o vete a saber dónde, había una boca de metro. concretamente la de guzmán el bueno. y por fin he podido volver a mi casa en la línea 7 sin más contratiempos. ^_^

miércoles, 21 de diciembre de 2016

contornos


por el título parece que voy a hablar de contorno de ojos o algo así. ;)

en la aventura el astropitufo, el protagonista levanta una valla para poder construir sin que le molesten la nave espacial con la que viajará a otros planetas. cada uno tiene sus hobbies... el área limitada por la valla del pitufo es cuadrada, o rectangular quizá. si hubiera querido abarcar la máxima área posible con el mismo perímetro -a efectos prácticos, el mismo número de listones de los que está formada la valla-, tendría que haberla construido de forma circular.

pero vayamos por partes. cuanto mayor es el número de lados de un polígono, para un mismo perímetro, mayor será su área. y vamos a demostrarlo. un polígono regular de n lados se puede desgajar en n triángulos isósceles. el área del polígono será la suma de las áreas de estos triángulos. el área de un triángulo es, como sabemos, el producto de la base por la altura dividido entre 2.


la base de cada triángulo es el lado del polígono, l. la altura a -también llamada apotema- no la conocemos, pero la podemos calcular relacionándola con la tangente del ángulo α opuesto a la base -para ser más exactos, la mitad de ese ángulo-. recordemos que en un triángulo rectángulo, la tangente del ángulo es igual al cociente del cateto opuesto entre el cateto contiguo.


vamos a hacer algunos arreglos en la fórmula que acabamos de obtener. el lado lo expresaremos como el perímetro dividido entre el número n de lados, y el ángulo como una vuelta completa (360º, es decir 2·π radianes) dividida también entre el número de lados.


por tanto, nuestra fórmula para el área de un polígono será A = p2/[4·n·tg(π/n)]. el numerador, p2, es constante ya que la comparación entre los polígonos de diferente número de lados la hacemos manteniendo constante el perímetro. en el denominador n aumenta, pero por otro lado tg(π/n) se hace cada vez más pequeño cuando más grande se hace n. el decrecimiento de la función tangente ‘puede más’, y por eso el denominador globalmente disminuye con n. si el denominador disminuye el cociente aumenta, y con eso queda demostrado que a mayor número de lados, mayor es el área de un polígono.


cuantos más lados tiene un polígono, más se aproxima a una circunferencia, más se ‘redondea’. por ello, podríamos decir que la línea cerrada que contiene el área máxima es la circunferencia. vamos a calcular el área encerrada dentro de una circunferencia, o dicho de otro modo, el área del círculo. para ello integramos infinitos ‘gajos’ de ángulo infinitesimal , que se asemejan a triángulos de base R·dα y altura R -siendo R el radio de la circunferencia-.


el área del círculo expresada en función del perímetro del que disponemos es p2/(4·π), mayor que la de cualquier polígono. en consecuencia, para cualquier acción que vaya desde construir un muro con una cantidad prefijada de materiales hasta sentarse en corro un número determinado de personas, para abarcar la máxima área posible, la forma ideal que debe adoptarse es la circular.

tras estas divagaciones, os deseo unas felices fiestas. no trabajéis demasiado... al menos no tanto como el pitufo, que sólo vive para construir su nave espacial. :P

viernes, 16 de diciembre de 2016

quien tiene un amigo...

...tiene un tesoro. en lo que llevamos de mes he tenido la suerte de recibir varios estupendos regalos, que han hecho que estos días fríos y lluviosos hayan sido un poco más felices.

ruth me trajo un autobús en miniatura de irlanda -país en el que reside desde hace más de dos décadas-, y varios recuerdos de su reciente viaje a berlín: una postal con un trozo de muro, y otros dos vehículos en miniatura, un volkswagen escarabajo y un trabant -el coche de la antigua alemania oriental-.


durante la cena estheriana que hacemos todos los años a comienzos de diciembre, se acercó a mí la pequeña eva -hija de nuestra amiga laura- para entregarme un paquete. eran los regalos del amigo invisible del foro de esther. eso significaba que la ‘culpable’ estaba entre las asistentes a la cena, y así fue. belén, te pillé, pero no me lo pusiste muy difícil. ;)


belén me trajo un coche de playmobil con su conductor, una pulsera muy chula y unos caramelos de colorines en una botella con tapón mecánico como las de la antigua casera.


conduzcan con precaución...


el resto de personas que acudieron a las quedadas de aquel día también trajeron regalitos muy chulos. gracias a laura, ruth, coti, ana, maria josé, mayca, susana, mari carmen y maria jesús. :* laura, en breve me pondré con el marcapáginas d.i.y. que nos pusiste de deberes. ;)



quiero mencionar también a silvia campos, creadora del personaje pelón. nos trajo varios de sus calendarios benéficos. silvia es ilustradora y licenciada en matemáticas. ella sí es matemática de verdad, no yo. ;)


pero los regalos no acabaron en la cena del día 3. una semana más tarde la lópez, una chica leal y noble como buena asturiana, me trajo este precioso llavero pintado por ella.


mónica, una bella maestra de cantabria, me mandó una postal navideña. tus niños cada vez se parecen más a ti! :)


maría, una abnegada enfermera gallega, amiga en facebook y participante del foro de esther, me envió un mini rojo -del modelo antiguo- en miniatura. es una obra de arte. y además un calendario estheriano de bolsillo.



en la cena estheriana de la que hablaba antes, conocí en persona por primera vez a maria josé, así como a su marido y a su hijo. esta simpatiquísima madrileña residente en murcia me sorprendió ayer enviándome un paquete de tarjetas de gorjuss. como llevo siempre una bolsa en bandolera de gorjuss, sabía que me gustaba. ;)


y por último pero no menos importante... hoy me han llegado los regalos del amigo invisible incorrecto, organizado por nuestra amiga eva en su blog opiniones incorrectasmi amiga invisible ha sido naar. y el azar ha querido que seamos amigos invisibles mutuos, porque a mí también me tocó regalarle a ella, lo cual me hizo mucha ilusión.

para empezar, fijaos en la caja que contiene los regalos, llena de números y símbolos matemáticos. qué fama tengo! :D


naar me ha enviado una taza de gatos muy simpática, una bolsa de bombones y una tarjeta de navidad...


...y además, dos libros que no tenía y estoy seguro de que me gustarán. mi única duda es por cuál de ellos empezaré, pero tengo claro que será hoy mismo, porque justo ayer terminé el que tenía entre manos.


de nuevo os doy mil gracias a todas las personas a las que he mencionado. por muchos años!! :* y si me he olvidado de alguien, que me disculpe y me lo haga saber para editar la entrada.

-----------------------------------------------------------------

más cosas! una preciosa tarjeta navideña que sin duda es de elaboración propia conociendo a la artista que me la ha enviado. :) muchas gracias, queca!!